一、基礎：算術與簡單代數 ——“算對尺寸的基本功”CNC 編程中，所有 “尺寸、參數、路徑坐標” 都需要精細計算，這部分是 “門檻比較低但不能錯” 的基礎。1. 加減乘除與小數運算應用場景：零件尺寸拆分（比如圖紙要求 “總長 50mm 的軸，分 3 個臺階，臺階長 15mm，第二臺階長 20mm，求第三臺階長度”——50-15-20=15mm，編程時 Z 軸坐標需按這個長度設定）；轉速、進給速度的簡單換算（比如 “進給速度 F = 每齒進給量 × 齒數 × 轉速”，若每齒進給 0.1mm，刀具 3 齒，轉速 1000 轉 / 分，則 F=0.1×3×1000=300mm / 分，編程時需輸入 F300）；公差范圍計算（比如圖紙要求 “φ25±0.03mm”，需明確實際加工時坐標值需在 24.97-25.03mm 之間，避免超差）。2. 比例與倍數關系應用場景：批量加工時的 “等分” 計算（比如 “在直徑 100mm 的圓盤上均勻鉆 6 個孔”，需計算相鄰孔的角度間隔 ——360°÷6=60°，編程時按 60° 增量設定各孔位置）；縮放加工（比如按圖紙 1:2 比例縮小加工模型，原尺寸 100mm 需改為 50mm，所有坐標值需同步按比例計算）。二、中的：平面幾何 ——“搞定所有‘形狀’的加工”CNC 加工的本質是 “按圖紙形狀切削”，而圖紙上的形狀（直線、圓弧、斜面、槽等）全靠平面幾何知識拆解和計算，這是編程中用得多的數學內容。1. 直線與角度：從 “斜面” 到 “定位坐標”必學知識點：角度的基本計算（直角 90°、平角 180°，以及 “補角 / 余角”—— 比如加工一個 “120° 的槽”，需知道兩側斜面與底邊的夾角各 30°）；三角函數（正弦、余弦、正切）：CNC 編程中 “算斜面坐標” 的工具，記住公式：sinθ= 對邊 / 斜邊；cosθ= 鄰邊 / 斜邊；tanθ= 對邊 / 鄰邊（θ 為角度）。實例：加工一個 “30° 斜面”，怎么算坐標？

圖紙要求：在一塊長 50mm、寬 30mm 的方塊上，從左側邊緣（X0,Y0）開始，加工一個 30° 的斜面，斜面長度（斜邊）20mm，求斜面終點坐標（X1,Y1）。分析：斜面與 X 軸夾角 30°，斜邊 20mm，需算 X 方向（鄰邊）和 Y 方向（對邊）的增量；計算：

X1=cos30°×20≈0.866×20=17.32mm；

Y1=sin30°×20=0.5×20=10mm；編程時，刀具需從（0,0）移動到（17.32,10），用 G01 指令：G01 X17.32 Y10 F100。2. 圓與圓弧：從 “圓弧槽” 到 “球面加工”CNC 中 “圓弧插補（G02/G03）” 是高頻操作，必須會算 “圓心坐標、半徑、弧長”，否則程序寫不對，圓弧會加工成 “歪的” 或 “過切”。

必學知識點：圓的基本公式：直徑 = 2× 半徑（d=2r）；圓周長 = 2πr；圓弧的 “起點、終點、圓心” 關系：圓弧上任意一點到圓心的距離 = 半徑，需用 “勾股定理” 或 “坐標差” 算圓心位置。實例 1：已知 “起點、終點、半徑”，求圓心坐標

圖紙要求：加工一段順時針圓弧（G02），起點坐標（X10,Y20），終點坐標（X30,Y20），半徑 20mm，求圓心（X0,Y0）。分析：起點和終點在同一水平線上（Y 都是 20），距離 = 30-10=20mm，說明兩點之間的直線是 “弦長”，長度 20mm；用 “垂徑定理”：圓心在弦的垂直平分線上，弦的中點是（20,20），垂直平分線是 Y 軸方向（上下）；勾股定理算圓心 Y 坐標：半徑 r=20mm，弦長一半 = 10mm，圓心到弦的距離 h=√(r2-102)=√(400-100)=√300≈17.32mm；因是順時針圓弧，圓心在弦的上方（若逆時針則在下方），所以圓心坐標：X0=20mm，Y0=20+17.32=37.32mm；編程時需用 G02 指令寫圓心相對坐標（或坐標）：G02 X30 Y20 I10 J17.32 F80（I、J 是圓心相對于起點的 X、Y 增量：20-10=10，37.32-20=17.32）。實例 2：加工 “圓角”（R 角），怎么算過渡坐標？

圖紙要求：在矩形工件的直角處倒一個 R5mm 的圓角（即圓弧半徑 5mm），原直角頂點坐標（X20,Y20），兩邊分別沿 X 軸和 Y 軸延伸，求圓弧的起點和終點。分析：圓角是 “與兩邊相切的圓弧”，起點在 X 軸上，距離頂點 5mm；終點在 Y 軸上，距離頂點 5mm；計算：起點坐標（20-5,20）=（15,20），終點坐標（20,20-5）=（20,15），圓心坐標（15,15）（與兩邊距離都是 5mm）；編程時用 G03（逆時針圓角）：G03 X20 Y15 I5 J-5 F80（I=15-15=0？不對，I 是圓心相對于起點的 X 增量：15-15=0？哦，起點是（15,20），圓心是（15,15），所以 I=15-15=0，J=15-20=-5，對的）。3. 三角形與多邊形：“復雜輪廓” 的拆解加工 “異形件”（比如六邊形、梯形、三角形槽）時，需把輪廓拆成 “多個直線段 / 圓弧段”，每段的坐標都靠三角形知識計算。

實例：加工 “正六邊形”，怎么算頂點坐標？

圖紙要求：正六邊形邊長 10mm，中心在（X50,Y50），求 6 個頂點的坐標。分析：正六邊形每個頂點與中心的連線（半徑）等于邊長（10mm），相鄰頂點夾角 60°；計算：以 X 軸為起點，個頂點（0°）坐標：

X=50+10×cos0°=60mm，Y=50+10×sin0°=50mm；

第二個頂點（60°）坐標：

X=50+10×cos60°=50+5=55mm，Y=50+10×sin60°≈50+8.66=58.66mm；

后續頂點按 60° 遞增計算，編程時按 “直線插補（G01）” 依次連接各頂點即可。三、坐標系與坐標變換 ——“讓機床知道‘在哪里加工’”CNC 機床的所有動作都基于 “坐標系”，必須理解坐標的 “原點、方向、偏移”，否則刀具可能 “找不到工件” 或 “撞機”。1. 笛卡爾坐標系（直角坐標系）認知：CNC 中 X、Y、Z 軸對應笛卡爾坐標系的三個軸，“+/-” 方向（比如車床 X 軸正方向是 “遠離工件中心”，Z 軸正方向是 “遠離卡盤”）；坐標表示：所有位置用（X,Y,Z）表示，比如 “X100 Y50 Z20” 刀具在 X 軸 100mm、Y 軸 50mm、Z 軸 20mm 的位置；應用場景：編程時 “定位刀具”（比如 G00 X100 Z50—— 快速移動到該坐標）、“設定工件原點”（G54 坐標系中輸入原點坐標，讓機床以工件為基準加工）。2. 相對坐標與坐標坐標（G90）：所有坐標值以 “工件原點（X0,Y0,Z0）” 為基準（比如 “X20” 是指距離原點 X 方向 20mm）；相對坐標（G91）：坐標值以 “當前刀具位置” 為基準（比如當前在 X10，輸入 “G91 X5” 后，刀具移動到 X15）；應用場景：簡單零件用坐標（直觀），復雜輪廓（比如多次重復動作）用相對坐標（計算更簡單，比如 “每次沿 X 軸移動 5mm，重復 10 次”，用相對坐標只需寫 “G91 X5”+ 循環指令）。3. 坐標偏移與補償計算對刀時的坐標換算：比如車床對刀，試切外圓后，機床顯示 X 軸坐標是 “X120”（機床坐標系），測量外圓實際直徑是 “φ20”，則工件坐標系 X 原點的機床坐標 = 120-20=100（需輸入到 G54 的 X 值，讓機床知道 “工件 X0 在這里”）；刀具半徑補償：比如用半徑 5mm 的立銑刀加工 “10mm 寬的槽”，若直接按槽的中心編程，需把刀具中心坐標偏移 5mm（G41/G42 指令），否則槽寬會變成 “10+5×2=20mm”（過寬）；計算：槽的理論邊界坐標是 X10 和 X30（寬 20mm），刀具半徑 5mm，刀具中心需在 X15 和 X25 之間移動（10+5=15，30-5=25）。四、其他 “可選但實用” 的數學知識 ——“進階提效”這些知識不是 “入門必學”，但學會后能處理更復雜的加工場景（比如曲面、批量編程），或優化程序效率。1. 球面與曲面的基礎計算加工 “半球面”“圓弧曲面” 時，需理解 “空間圓弧” 的坐標規律（比如半球面可拆成 “無數個不同半徑的圓弧”，每個圓弧的圓心和半徑需按球面公式計算）；

球面公式：x2+y2+z2=r2（球心在原點時），編程時可按 “分層切削” 思路，每一層算一個圓弧的坐標。2. 簡單的方程與函數比如加工 “拋物線槽”“正弦曲線輪廓” 時，需用 “函數式” 表達坐標（比如 y=ax2+bx+c），編程時按 “小線段擬合”（把曲線拆成無數短直線）計算各點坐標；

實際中，復雜曲線通常用 “自動編程軟件（如 UG）” 生成程序，但理解函數原理能更精細調整路徑。3. 幾何公差的數學表達比如圖紙要求 “平面度≤0.02mm”“垂直度≤0.01mm”，需理解 “公差帶的數學含義”（比如垂直度是 “被測面與基準面的最大距離差≤0.01mm”），編程時可通過 “多段測量點” 的坐標控制（比如在不同位置設定切削深度，保證平面平整）。總結：CNC 編程數學 “學習重點”必須掌握（入門級）：算術運算、三角函數（sin/cos/tan）、圓與圓弧計算、笛卡爾坐標系、相對 / 坐標；建議掌握（進階級）：坐標偏移與補償計算、多邊形頂點坐標計算、簡單幾何公差含義；無需深入（不用學）：微積分、線性代數、復雜拓撲幾何（這些交給自動編程軟件，編程員只需會用軟件即可）。

關鍵提醒：CNC 編程的數學不是 “純理論計算”，而是 “結合圖紙的實用計算”—— 建議邊學邊練：拿一張簡單零件圖紙（比如帶斜面、圓弧的零件），試著自己算坐標，再用仿真軟件驗證（看加工后的形狀是否與圖紙一致），練 10 個以上實例后，數學應用能力會自然提升。編輯分享推薦一些學習CNC編程所需數學知識的學習資源提供一些實際的CNC編程案例，用于理解數學知識的應用分享學習CNC編程的經驗和技巧

東莞京雕教育擁有自己的實體工廠，既有教學大綱案例練習，又有每日出貨訂單案例打樣練手，20年行業經驗，開設CNC數控技術班、UG編程班、北京精雕班、車銑復合班、五軸編程調機班、浮雕、吸塑、滴塑技術班等，學會為止安排工作。

我們的培訓模式是產教融合的模式，現有廠地上萬平米，擁有70多臺各種數控設備，包括三菱、發那科、新代、北京精雕、車銑復合、五軸機等先進設備，讓學員能夠在實操練習中獲得更多的技能和經驗，培養真正實用的CNC數控技術人才。

我們的使命是：讓更多的年輕人學到一技之長，讓更多的年輕人生活越來越幸福。